Алгебра в программе Mathematica


Знакомство с системой Mathematica


Знакомство с системой Mathematica
Знакомство с системой MathematicaПосле того как запустим систему Mathematica 5, получится примерно то что изображено на Рисунок 2.1. Большое белое окно слева- блокнот. Именно в него вводится инфор...
Пример 1
Пример 1Рисунок 2.1. Вот что отображается на экране после запуска системы Mathematica Возможно, вам пришлось подождать (обычно, не более нескольких секунд). Но не огорчайтесь, это происходила загр...
Пример 2
Пример 2Рисунок 2.2. Вот что появляется в окне ввода системы Mathematica после вычисления 2+2  ...
Арифметические действия над числами
Арифметические действия над числами Арифметические действия в системе Mathematica обозначаются как обычно: + (сложение), - (вычитание), * (умножение), / (деление), ^ (возведение в степень). Впроче...
Функции
Функции В системе Mathematica имеется множество математических функций, их имена вполне естественны, за тем исключением, что имена всех встроенных функций начинаются с прописной буквы. Кроме того,...
Блокнот и меню
Блокнот и меню Чтобы упростить набор и вычисление выражений, рассмотрим возможности интерфейса (оболочки) системы Mathematica. Чтобы сохранить протокол расчетов (блокнот), из меню Файл (File) выбе...
Алгебраические преобразования
Алгебраические преобразования Давайте посмотрим, как система Mathematica справляется с раскрытием скобок в степенях. Для этого служит функция Expand....
Пример 1
Пример 1Упростим предыдущий результат. Simplify[%] (а + b + с)5 Разложим на множители алгебраическое выражение а10+ b10. Для этого служит функция Factor. Factor[а^10 +b^10] (а2 + b2) (а8-а6b2 + а4...
Построение графиков
Построение графиков Система Mathematica богата графическими возможностями. Рассмотрим на примерах построение хотя бы некоторых, наиболее часто встречающихся типов графиков....
Построение графиков функций одной переменной
Построение графиков функций одной переменной Построение графика одной функции, заданной аналитически Вот как можно построить график функции синус....
Пример 1
Пример 1Построение графиков нескольких функции, заданных аналитически Вот как можно построить график нескольких функций....
Пример 2
Пример 2Построение графика функции, заданной параметрически Окружность, как известно, не является графиком ни одной однозначной функции. Тем не менее, она может быть задана параметрически. Наприме...
Пример 3
Пример 3Конечно, масштабы по осям здесь разные, и потому окружность изображена как эллипс. А вот фигура Лиссажу....
Пример 4
Пример 4И еще одна, на этот раз разомкнутая (хотя концы ее найти не так-то просто!) "фигура Лиссажу"....
Пример 5
Пример 5...
Построение графиков функций двух переменных
Построение графиков функций двух переменных Построим, например, график поверхности z — sin(x2 у)....
Пример 1
Пример 1А вот параметрически заданный геликоид....
Пример 2
Пример 2И, наконец, вот еще одно параметрически заданное тело....
Пример 3
Пример 3Оказывается, совсем не трудно на одном рисунке показать несколько графиков, ранее построенных по отдельности....
Пример 4
Пример 4Несколько фантастическое сооружение, не правда ли? Но раз уж мы построили несколько графиков функций, не пора ли перейти к тому разделу математики, в котором изучаются функции?...
Анализ
Анализ Хотя систему Mathematica и подобные ей называют системами компьютерной алгебры, обычно в них так или иначе представлены все фундаментальные разделы математики. Возможности системы Mathemati...
Дифференцирование
Дифференцирование Дифференцировать в системе Mathematica. не просто, а очень просто! В качестве аргументов команды (функции) дифференцирования D [., . ] нужно указать ту функцию, которую мы намере...
Интегрирование
Интегрирование Неопределенные интегралы, или первообразные Интегрирование в системе Mathematica (как и в жизни) сложнее дифференцирования. Впрочем, формально все просто: неопределенный интеграл вы...
Пример 1
Пример 1Заметьте, что здесь не учтен случай n = -1. Конечно же, неберущиеся интегралы не берутся....
Пример 2
Пример 2А вот более сложный пример....
Пример 3
Пример 3Для человека это уже не совсем просто. Впрочем, в ранних версиях система Mathematica взять этот интеграл не могла. Определенные интегралы Команда Integrate умеет вычислять и определенные и...
Пример 4
Пример 4Как видите, система Mathematica рассмотрела даже случаи комплексного n. Но есть ведь неберущиеся интегралы... Система не отступает даже перед ними. Integrate[Sin[Sin[x]],{х,0,Pi}] ? Struve...
Пример 5
Пример 5  ...
Суммы
Суммы Для вычисления сумм в системе Mathematica имеется команда Sum. Вот как вычисляется, например,...
Пример 1
Пример 1А теперь рассмотрим вычисление двойной суммы...
Пример 2
Пример 2...
Пример 3
Пример 3...
Разложение в ряд Тейлора
Разложение в ряд Тейлора Вот как система Mathematica разлагает функцию Sin в ряд Тейлора....
Пример 1
Пример 1Чтобы отбросить остаточный член, можно воспользоваться командой Normal....
Пример 2
Пример 2Конечно, все это можно сделать сразу....
Пример 3
Пример 3А теперь построим графики синуса и пяти его разложений по формуле Тейлора....
Пример 4
Пример 4...
Вычисление пределов
Вычисление пределов Система Mathematica может вычислять пределы — замечательные и не очень....
Пример 1
Пример 1Но при попытке подставить 0 в выражение...
Пример 2
Пример 2 система, как и положено, "заругается":...
Пример 3
Пример 3Однако при других значениях х значение выражения будет вычислено без проблем....
Пример 4
Пример 4А вот как вычисляется еще один замечательный предел....
Пример 5
Пример 5Однако при вычислении пределов нужно проявлять осторожность. Чтобы разобраться, в чем тут дело, рассмотрим следующий (по существу, тривиальный) пример:...
Пример 6
Пример 6Предела (двустороннего) здесь не существует, но...
Пример 7
Пример 7Таким образом, в данном случае система Mathematica под видом двустороннего предела пытается подсунуть односторонний предел. Честно говоря, это несколько обескураживает и довольно досадно,...
Пример 8
Пример 8Дело в том, что в некоторых случаях система Mathematica ограничивается односторонними (например, левосторонними, когда переменное приближается слева, т.е. возрастает, или правосторонними,...
Пример 9
Пример 9.К счастью, уже в версии 3.0 этот недостаток был устранен....
Пример 10
Пример 10Более того, система Mathematica может вычислить даже следующие пределы....
Пример 11
Пример 11...
Списки и линейная алгебра
Списки и линейная алгебра В линейной алгебре часто рассматриваются объекты, сконструированные из других объектов. Вектор, например, часто представляется в виде списка чисел (являющихся его координ...
Списки
Списки Список — это заключенная в фигурные скобки произвольная последовательность объектов, в которой объекты отделяются друг от друга запятыми. Именно списки используются для конструирования сост...
Векторы
Векторы Из всего многообразия составных объектов линейной алгебры проще всего устроены векторы. Поэтому не удивительно, что именно они представляются самым простым видом списков — линейными списка...
Матрицы
Матрицы В системе Mathematica матрицы представляются в виде списков строк, т.е. в виде списков списков. Вот пример задания матрицы. Матрица задается как список списков. m1={{1,1,1,1},{а,Ь,с,d},{а^...
Пример 1
Пример 1Действия с матрицами и векторами задаются естественным образом. Умножим, например, матрицу на вектор....
Пример 2
Пример 2А вот как можно умножить матрицу m1 на скаляр t....
Пример 3
Пример 3Для квадратной матрицы Mathematica позволяет найти определитель, а также обратную матрицу (если, конечно, матрица обратима, т.е. имеет ненулевой определитель), собственные значения и векто...
Пример 4
Пример 4Найдем определитель Det[m2] 2 Поскольку он ненулевой, можем найти обратную матрицу....
Пример 5
Пример 5Произведение матрицы на ее обратную должно быть единичной матрицей. Давайте проверим....
Пример 6
Пример 6Так и есть! Однако обратите внимание: произведение матриц обозначается точкой. Дело в том, что произведение m3 * m2 тоже имеет смысл, но это поэлементное произведение списков, а не произве...
Пример 7
Пример 7Собственные значения и векторы находятся без особых сложностей....
Пример 8
Пример 8Да, пока не совсем понятно... Но не огорчайтесь, при необходимости собственные числа и собственные векторы можно найти приближенно. Вот как найти ответ с машинной точностью....
Пример 9
Пример 9Но все же, что же это такое `Root? Оказывается, Root[f, k] — это k-й корень алгебраического уравнения f [#1] = 0. (Таким образом, f — полином.) Так что, система Mathematica умеет решать ур...
Уравнения
Уравнения Система Mathematica классно решает разнообразные уравнения и их системы. В системе Mathematica знак равенства (=) в уравнениях представляется посредством двойного знака равенства (= =)....
Пример 1
Пример 1Обратите внимание на мнимую единицу в записи двух корней. Как видите, был найден не только вещественный корень, но и комплексные корни. Система Mathematica находит все (вещественные и комп...
Пример 2
Пример 2Конечно, ответ несколько громоздкий. Представьте, если бы вам пришлось искать его самостоятельно! Решения общего алгебраического уравнения степени 5 или выше через радикалы не выражаются,...
Пример 3
Пример 3А вам слабо? Давайте попробуем решить уравнение х5 + х -7 = 0 ....
Пример 4
Пример 4Да, корни уравнения — это его корни... (И, как видите, их пять, что тоже не особенно информативно, если учесть, что многочлен пятой степени.) В данном случае при необходимости можно решить...
Пример 5
Пример 5Чтобы решить трансцендентное уравнение, нужно задать начальное приближение к корню. Вот как, например, можно решить уравнение cosx = 2x....
Пример 6
Пример 6Давайте попробуем решить систему линейных алгебраических уравнений....
Пример 7
Пример 7А чтобы решить систему трансцендентных уравнений, нужно задать начальные приближения неизвестных....
Пример 8
Пример 8Система Mathematica умеет решать и дифференциальные уравнения и их системы....
Пример 9
Пример 9Как видите, решение содержит произвольные постоянные C [1] и С [2]. Можно найти также численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений или их систем....
Пример 10
Пример 10Правда, решение содержит приближенную функцию (объект InterpolatingFunction). Но этот объект может быть вычислен, как и любой другой объект системы Mathematica. В частности, можно построи...
Пример 11
Пример 11...
Экстремумы функций
Экстремумы функций Система Mathematica позволяет найти экстремумы функций одной и нескольких переменных. Вот как, например, можно найти локальный минимум функции excosx. FindMinimum[Exp[x]*Cos[x],...
Линейное программирование
Линейное программирование Используя систему Mathematica, нетрудно решить задачи линейного программирования небольшой размерности. Рассмотрим пример....
Пример 1
Пример 1Правда, если экстремум достигается на границе (а в задачах линейного программирования это случается почти всегда), при использовании функции Maximize выдается предупреждение об этом. Можно...
Пример 2
Пример 2 Впрочем, для решения задачи можно воспользоваться и функцией Nmaximize. NMaximize[{19x-47y+28z,{x+y+z>0,x+y+z<l,x>0,y>0,z>0}},{x,y,z}] {28.,{x>0.,y>0.,z>l.}} Обрат...
Резюме
Резюме Мы бегло ознакомились с применением системы Mathematica в качестве калькулятора. Но даже из этого беглого знакомства видно, что если это и калькулятор, то очень мощный и интеллектуальный. Н...








- Начало -