Что такое число
Что такое число
Что такое число Что такое число? Однозначного ответа на этот вопрос нет. Например, комплексное число — это число или все-таки вектор? А действительное число — это число или сечение во множестве ра...
Пример 1
Пример 1 .Поэтому вполне логично задать вопрос: как же сделать так, чтобы система Mathematica производила вычисления над вещественными числами, представляя результаты в виде десятичных дробей с за...
Представление вещественных чисел
Представление вещественных чисел систематическими дробями: функция N. Разрядность и точность вещественных чисел: функции Precision и Accuracy .Оказывается, что если вместо целого числа указать рав...
Пример 1
Пример 1Более того, существует конвертор (преобразователь), который представляет вещественные числа, а также вещественную и мнимую части комплексных чисел в виде десятичной дроби. Таким конверторо...
Пример 2
Пример 2При необходимости разрядность можно указать и явно: у функции N имеется второй, необязательно указываемый аргумент, который определяет разрядность чисел, используемую при вычислении резуль...
Пример 3
Пример 3При вычислениях с вещественными числами очень полезны функции Precision и Accuracy, названия которых можно перевести как разрядность и точность. Разрядность вещественного числа — это колич...
Пример 4
Пример 4При вычислениях отслеживается точность и разрядность результата. Поэтому функцию N часто вызывают для вычисления численных значений выражений, в частности констант....
Пример 5
Пример 5Встроенные в систему Mathematica алгоритмы обладают тем свойством, что при вычислении функции N от констант все цифры результата получаются верными. Однако в общем случае не следует ожидат...
Разрядность и точность при выполнении операций над числами
Разрядность и точность при выполнении операций над числами. Давайте теперь посмотрим, что происходит с разрядностью и точностью при выполнении действий....
Пример 1
Пример 1Как и следовало ожидать, разрядность больше точности, поскольку число больше 1 и, следовательно, некоторые значащие цифры стоят до десятичной точки. Передвинем теперь точку на 3 разряда вп...
Пример 2
Пример 2Как видим, разрядность не изменилась, точность уменьшилась на 3, поскольку фактически теперь в дробной части на 3 цифры меньше. А что получится, если мы точку передвинем вправо? Для этого...
Пример 3
Пример 3Разрядность, как и прежде, не изменилась, зато точность увеличилась на 3, поскольку добавилось три значащих разряда после точки. А теперь давайте в исходном числе передвинем десятичную точ...
Пример 4
Пример 4Разрядность при этом, как видите, не изменилась, но точность увеличилась и даже превзошла разрядность! Отсюда можем заключить, что в то время как разрядность (количество значащих цифр) не...
Пример 6
Пример 6 .Теперь понятно, почему так часто получаются нецелые числа в качестве значений точности и разрядности. Таким образом, если точность числа х равна а, то его погрешность ? = 10-a. Если же ч...
Пример 7
Пример 7Но информация о точности хранится. 10^26*(х-х2) О.х10i
Фактически это означает, что точность утеряна — нет ни одной верной значащей цифры результата, так как вычисления велись с недостаточ...
Отбрасывание малых вещественных чисел функция Chop
Отбрасывание малых вещественных чисел: функция Chop Вещественные числа, меньшие 10-10, можно отбросить с помощью функции Chop....
Пример 1
Пример 1Задание второго числового аргумента eps функции Chop позволяет отбрасывать вещественные числа, абсолютная величина которых меньше eps. Таким образом, функция chop заменяет маленькие вещест...
Целая и дробная части вещественного числа
Целая и дробная части вещественного числа Всякое вещественное число представляет собой сумму его целой и дробной частей:...
Целая часть вещественного числа функции Floor и IntegerPart
Целая часть вещественного числа: функции Floor и IntegerPart Есть множество способов преобразования вещественных чисел в целые. Но важнейшими из них являются округление к целому числу и отбрасыван...
Дробная часть вещественного числа функция FractionalPart
Дробная часть вещественного числа: функция FractionalPart Пусть х — вещественное число. Тогда его дробную часть {х} можно определить равенством: {х} = х - [х]. По этому, общепринятому в математике...
Пример 5
Пример 5О, это уже какая-то загадка. Разные результаты при вычислении одного и того же выражения! А вот и разгадка: мы проводили вычисления с разной разрядностью, притом в обоих случаях точность б...
Пример 7
Пример 7 действительно очень близко к целому числу 1, от него оно отличается менее, чем на 8x10-13! Между прочим, когда системы компьютерной алгебры не были столь доступны, как сейчас, число...
Пример 8
Пример 8Полужирным здесь выделены искомая сто первая тысяча цифр в представлении числа к десятичной дробью, причем первая выделенная цифра является стотысячной после запятой. "Ну вот, и все д...
Пример 9
Пример 9Десятичная запись этого числа содержит только нули и единицы, причем и тех, и других там бесконечно много, но единицы встречаются столь редко, что если наудачу выберешь какую-нибудь цифру,...
Пример 10
Пример 10Почему же все-таки я подчеркиваю, что решить задачу несложно именно в данном случае? Вспомните пример с е '"". Там проблема была в том, что вычисленные десятичные приближения за...
Пример 11
Пример 11Сколько у этого числа нулей следует сразу после десятичной точки? Решение. Вот самое простое решение. Сначала вводим определение числа....
Пример 13
Пример 13Ну, как? Не думаете ли вы, что это число заслуживает того, чтобы вычислить его целую и дробную части по отдельности? Сначала вычислим целую часть....
Пример 14
Пример 14"Ну и что?" — возможно, скажете вы. Тогда присмотритесь внимательнее, где начинаются нули. Да, именно с них и начинается дробная часть....
Пример 15
Пример 15Из этого видно, что после десятичной точки следует 1831 нуль! Чтобы обнаружить, что это число не целое, нужно вычислить его не менее, чем с 5496 десятичными знаками. Вот это можно было бы...
Пример 16
Пример 16Сколько у этого числа нулей следует сразу после десятичной точки? Решение. Вот самое простое решение. Сначала вводим определение дроби fajl....
Пример 17
Пример 17Теперь нужно вычислить число с такой точностью, чтобы найти хотя бы один ненулевой знак после запятой. Давайте попробуем. N[FFraction[Sqrt[17]-Sqrt[14],25],50] 1.0000000000000000000000000...
Пример 18
Пример 18А пятьдесят тысяч знаков после десятичной точки не хотите ли? Хотите. Тогда пожалуйста, только эффект будет в десять раз сильнее....
Пример 19
Пример 19Между прочим, если это число целое, то после десятичной точки у него сплошные нули... И все попытки просто приведут к исчерпанию свободной памяти. Ну бывает же, что дроби сокращаются, а р...
Пример 20
Пример 20А здесь ведь разность степеней делится на разность степеней... Вот оно, коварство авторов, придумывающих "подленькие" задачи! Возможно, нужно лишь упростить выражение и убедитьс...
Пример 23
Пример 23А ведь разность показателей представляет собой разность последовательных чисел Фибоначчи, и потому опять есть число Фибоначчи! Внимательно следите за моей мыслью? Может, надеетесь на даль...
Пример 24
Пример 24Можно (для удобства исследования) эту дробь обратить и применить к ней тот же прием! И с полученной дробью можно поступить так же! Фактически у нас получатся элементы цепной дроби! После...
Пример 27
Пример 27Что касается нулей, то, хоть я и вычеркнул подавляющее их число, предварительно я их посчитал в Word! И их оказалось 50810! Между прочим, убедиться в том, что число fa,n не целое, не так-...
Пример 29
Пример 29Сколько у этого числа нулей следует сразу после десятичной точки? Решение. Вот самое простое решение. Сначала вводим определение числа....
Пример 30
Пример 30Теперь нужно вычислить число с такой точностью, чтобы найти хотя бы один ненулевой знак после запятой. Итак, попробуем....
Пример 32
Пример 32Видите ли... Как бы вам это популярнее объяснить, пока продолжаются вычисления... Отличие от предыдущего случая состоит в том, что в предыдущем случае мы убедились, что 1 действительно яв...
Пример 33
Пример 33Возможно, вы подумали, что автор хотел обвести вас вокруг пальца! Число все-таки оказалось нецелым! Просто система Mathematica не смогла вычислить достаточное количество знаков, и автор р...
Пример 34
Пример 34Как видите, все ответы тавтологичны. И в данном случае вопрос так и не прояснился... Да, система Mathematica не всегда может то, с чем справляется даже школьник:...
Пример 35
Пример 35Теперь уж действительно ясно, что число целое. Конечно, придумать таких примеров можно великое множество. И проблема здесь не в коварстве авторов задачников, а в том, что не существует ал...
Приближение вещественных чисел
Приближение вещественных чисел рациональными: функция Rationalize Что значит найти рациональное приближение вещественного числа? Какое приближение следует считать хорошим? На эти вопросы можно отв...
Пример 1
Пример 1Вот как можно составить список рациональных приближений числа ? с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; ... 10 20....
Пример 2
Пример 2Обратите внимание на то, насколько добросовестно система Mathematica подыскивает рациональные приближения. Хотя знаменатели рациональных чисел невелики, найденные приближения настолько хор...
Преобразование в десятичную систему счисления
Преобразование в десятичную систему счисления Хорошо, конечно, что Mathematica, как мы уже видели, действительно умеет многое делать с числами в десятичной системе счисления. Но умеет ли она преоб...
Преобразование из десятичной системы
Преобразование из десятичной системы счисления в недесятичную Чтобы преобразовать число из десятичной системы счисления в недесятичную, нужно вызвать функцию BaseForm, причем в качестве первого ее...
Число как последовательность (список) цифр
Число как последовательность (список) цифр В позиционной системе счисления число фактически представляет собой список цифр. Для получения такого списка и работы с ним в системе Mathematica предусм...
Пример 1
Пример 1Однако функция IntegerDigits позволяет определить функцию, которая сможет представить число в нега-двоичной системе....
Пример 2
Пример 2И уж совсем просто определить функцию, которая по представлению числа в нега-двоичной системе находит его представление в десятичной системе:...
Пример 4
Пример 4Представление вещественного числа в виде списка десятичных цифр: функция RealDigits Функция RealDigits позволяет представить вещественное число в виде списка цифр. В этом она похожа на фун...
Пример 5
Пример 5Представление вещественных чисел в виде списка цифр в системе счисления с произвольным основанием: функция RealDigits Как и функция IntegerDigits, функция RealDigits может использоваться д...
Пример 6
Пример 6В этом случае первый параметр нужно задать как 1.0. RealDigits[1.0,Pi] {{1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},!} Вот еще один пример....
Пример 8
Пример 8Здесь уж точно можно определить, что нужны только две цифры! Правда, для этого нужно вникнуть в смысл выполняемой операции. Правда, функцию можно обмануть, но лишь с определенной точностью...
Пример 11
Пример 11Здесь Indeterminate — это цифра, в которой функция не уверена. Представление рациональных чисел в виде списка цифр в системе счисления с произвольным основанием: функция RealDigits Рацион...
Пример 12
Пример 12Как видите, если период дроби был выделен явно, обратное преобразование выполняется точно! Однако период может начинаться не сразу после десятичной точки, как в чисто периодических дробях...
Пример 13
Пример 13Как видно из этого примера, других принципиальных отличий нет. Получение заданного количества цифр вещественного числа в системе счисления с произвольным основанием: функция RealDigits Мы...
Пример 14
Пример 14Итак, чтобы получить len цифр вещественного числа х в системе счисления с основанием b, вызов функции RealDigits можно записать так: RealDigits [x, b, len]. Если len больше Log [10, b] *P...
Пример 15
Пример 15Однако без дополнительных ухищрений получить вторую после точки тысячу знаков десятичной дроби, приближающей основание натуральных логарифмов, нельзя....
Пример 16
Пример 16Но даже если увеличить значение $MaxExtraPrecision, все равно ничего не получится (большая часть распечатки пропущена — она заменена троеточием)....
Пример 17
Пример 17Но не думайте, что эта задача неразрешима, просто функцию RealDigits нужно применить к предварительно вычисленному приближению основания натуральных логарифмов....
Пример 18
Пример 18Честно говоря, запятых здесь слишком много. Возникает соблазн избавиться от них следующим способом....
Пример 19
Пример 19Обратите внимание на то, что при этом способе теряются ведущие нули! У нас, например, потерялся один нуль....
Пример 20
Пример 20Реконструкция числа по списку цифр, полученному с помощью функций IntegerDigits и RealDigits, — функция FromDigits Как мы видели, иногда по списку цифр (и других вспомогательных данных) н...
Пример 22
Пример 22Но на самом деле восстановить его очень просто. k=RealDigits[m,16] {{3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4,3,3,8,3,2,7,9,5,0,2, 8,8,4,1,9,7,1,6,9,3,9,9,3,7,5,1,0,5,8,2,0,9,7,4,9...
Пример 24
Пример 24Но это еще что! Можно ведь даже построить график зависимости количества единиц в двоичном представлении n от и....
Пример 25
Пример 25О, это настоящая музыка цифр! Но это еще не все: если третий параметр опущен, функция DigitCount посчитает количество вхождений каждой цифры в представлении числа л в системе счисления с...
Пример 26
Пример 26А вот как узнать, насколько фактически эти цифры отличаются от среднего, 10n. DigitCount[IntegerPart[10^(10^(n+1))* FractionalPart[N[E,10^(n+1)+10]]]]-10^n {1,1,-1,О,-1,-1,0,3,-!,-!} А те...
Пример 27
Пример 27Одно время некоторых "цифроманов" очень беспокоили неравномерности в распределении девятки в десятичном представлении основания натуральных логарифмов. Честно говоря, просматрив...
Пример 28
Пример 28Из графика видно, что наибольшее отклонение от среднего в первом миллионе десятичных знаков не у девятки, а у нуля. Аналогичный график для первых двух миллионов десятичных знаков строится...
Пример 29
Пример 29Как видите, если и винить, то скорее нули, а не девятки! Ну а вот как можно построить график зависимости количества единиц в числе...
Пример 30
Пример 30Наконец, можно заняться изучением двоичного представления числа числителъ (В2n) х знаменателъ(В2n). Вот отклонение количества единиц в представлении от среднего....
Экспоненциальное представление
Экспоненциальное представление чисел: функция MantissaExponent Функция MantissaExponent [x] представляет число х в виде списка, который содержит мантиссу и экспоненту числа....
Пример 1
Пример 1В качестве второго аргумента функции MantissaExponent можно задать основание, которое не обязательно дожно быть целым....
Модуль (абсолютная величина) числа функция Abs
Модуль (абсолютная величина) числа: функция Abs Функция Abs [ z ] возвращает абсолютную величину (модуль) комплексного числа z. Конечно же, ее аргумент может быть и вещественным....
Знак числа функция Sign
Знак числа: функция Sign Если аргумент х — вещественное число, то Sign[x] возвращает —1, 0 или 1, в зависимости от того, является аргумент отрицательным, нулем или положительным. Если комплексное...
Числитель и знаменатель числа
Числитель и знаменатель числа: функции Numerator и Denominator Функция Numerator[ехрг] собирает в ехрг все множители с неотрицательными показателями. В качестве ехрг можно использовать целые числа...
Пример 4
Пример 4Знаменатель дроби в предыдущем примере получить совсем не сложно, нужно только все привести к общему знаменателю. Проще всего это сделать так....
Представление числа непрерывной
Представление числа непрерывной дробью: функция Continued Fraction Функция ContinuedFraction [x] преобразует число д: в непрерывную дробь. Количество звеньев определяется точностью числа х. Следую...
Пример 1
Пример 1(Разложение этих чисел в цепную дробь при любом натуральном k было найдено Эйлером в 1737 году.) Вот нужная нам программа. Do[Print[k,":",ContinuedFraction[Е^(2/k), 20]], {k,1,10...
Пример 2
Пример 2Такое предупреждение, как видим, не препятствует работе программы. Числа Фибоначчи и цепные дроби Давайте разложим...
Пример 5
Пример 5 равно n, причем последнее звено равно 2, а все предшествующие ему (если они есть) — 1. Этим свойством обладают только дроби ...
Пример 6
Пример 6никакая другая дробь такого разложения не имеет. Вообще, выражения, содержащие числа Фибоначчи, доставляют подчас примеры чисел, разложения которых в цепные дроби обладают весьма интересны...
Пример 7
Пример 7А теперь давайте попытаемся представить несколько ее значений в виде цепных дробей. Положим, например, а = 2, k = 15. Вот результаты....
Пример 9
Пример 9Если и это вам ничего не напоминает, взгляните вот на это. Table[Fibonacci [n] ,{п,15,2,-1}] {610,377,233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1} Так что все звенья цепной дроби (кроме последнего),...
Пример 10
Пример 10 представляют собой степени числа а, показателями которых служат числа Фибоначчи Fn, Fn-1, Fn-2,,..., F2, записанные в обратном порядке! То же самое имеем и для а = 3, k = 25....
Пример 11
Пример 11Последний элемент цепной дроби, как видим, равен n+1. Конечно, фокус основан на тождестве...
Пример 12
Пример 12Хотя тождество справедливо для всех я, таких, что aFk=1 (k = 0, 1, ..., n+1), именно для целых а правая часть будет "настоящей" цепной дробью....
Пример 13
Пример 13Здесь целая часть выделена полужирным, а остальные элементы курсивом через один, чтобы их было легче отличить. Видно, как быстро убывают элементы дроби. Но вот если основание а не являетс...
Пример 14
Пример 14Как видите, если не считать целой части, то все элементы цепной дроби являются весьма небольшими числами. Однако так бывает не всегда. Возьмем, например, основание а = 1/3....
Пример 15
Пример 15Здесь самым большим является второе звено. Все, кроме него и последнего звена, являются степенями тройки, причем показатели степеней — числа Фибоначчи....
Пример 17
Пример 17Сколько девяток во втором элементе? 13 = 8+5 = Fibonacci [7] — следующее число Фибоначчи. А сколько нулей? 21 = 13+8 = Fibonacci [8] — опять следующее число Фибоначчи! А сколько цифр во в...
Пример 19
Пример 19могут доставить множество неприятностей при разложении в цепные дроби. Вот первая попытка получить первые десять элементов разложения в цепную дробь....
Пример 21
Пример 21Точность — два с половиной миллиона десятичных цифр! Куда ж еще увеличивать?! Давайте разберемся, в чем тут дело....
Пример 22
Пример 22Проблема, похоже, в том, что эти числа слишком быстро приближаются к целому числу 1 с возрастанием п, и потому так быстро возрастает второй элемент. Чтобы сделать картину еще более нагляд...
Пример 23
Пример 23Как видите, с ростом n второй элемент возрастает катастрофически быстро, а потому катастрофически быстро возрастает и точность, требуемая для его вычисления. Периодические цепные дроби Ка...
Пример 24
Пример 24причем n2 >q. Во-первых, период цепной дроби, представляющей такую квадратичную иррациональность, начинается сразу после целой части. (Это следует из теоремы о чисто периодических цепн...
Пример 26
Пример 26 выглядит весьма иррационально. Давайте попытаемся разложить его в цепную дробь....
Пример 27
Пример 27Как видите, ничего не получилось. Система Mathematica говорит, что цепная дробь бесконечна, не имеет периода, и потому советует указать количество необходимых элементов. На самом же деле...
Пример 28
Пример 28Как видите, число оказалось на самом деле рациональным (числители выделены курсивом, а знаменатели — полужирным), а цепная дробь — конечной, но система Mathematica об этом не догадалась....
Пример 29
Пример 29Составим таблицу разложения их в цепные дроби. Сначала определим нужные нам функции. Fnl[n_]:= Sqrt[n^2+1] Fn2[n_]:= Sqrt[n^2+l]/2 Fn3[n_]:= Sqrt[n/42 + l]/n Вот как выглядит...
Пример 30
Пример 30 при четном n разлагается в дробь {n/2,{4n,n}}, a при нечетном — в дробь ([n/2], {1,1,n}}. Что же касается более сложного выражения, ...
Пример 31
Пример 31 , то несколько удивительно то, что его разложение даже проще: (1, {2n^2,2}}. Составим таблицу разложения ...
Пример 33
Пример 33в цепные дроби. Сначала определим нужные нам функции. Fn1[n_]:= Sqrt[n^2+2] Fn2[n_]:= Sqrt[n^2+2]/n Fn3[n_]:= Sqrt[n^2+2]/Sqrt[n^2+1] После выполнения программы составляем таблицу . Из та...
Пример 34
Пример 34 состоит всего лишь из двух элементов. Несколько неожиданно то, что разложение самой простой из этих квадратичных иррациональностей, ...
Пример 35
Пример 35, имеет, пожалуй, наиболее сложный период — все его элементы зависят от п. В периодах разложения двух "более сложных" иррациональностей,...
Пример 37
Пример 37лишь первый элемент периода зависит от п. Правда, зависимость эта от n нелинейная, и это как бы "компенсирует" постоянство второго элемента периода. Составим теперь таблицу разл...