Алгебра в программе Mathematica


Тест на простоту


Тест на простоту
Тест на простоту Чтобы сказать, является ли простым заданное число из 15 или 20 цифр, не хватит всей жизни, даже если использовать все, что уже известно. Мерсенн, XVII в. Что задача различать прос...
Функция PrimeQ
Функция PrimeQ Здесь я хотел бы сказать несколько слов о том, как трудно решить, является ли заданное число простым. Вальтер Боро. Дружественные числа. Открытая лекция, пропитанная при вступлении...
Пример 1
Пример 1Все это удобнее свести в таблицу . Видите, как ошибся Ферма! Это потому, что он не использовал предикат PrimeQ. Пример 5.2. Составим список всех натуральных «55000, для которых число...
Множество простых чисел Primes и предикат х € Primes
Множество простых чисел Primes и предикат х € Primes В системе Mathematica имеется также множество (область) простых чисел Primes. Его также можно использовать для проверки простоты числа. Нужно п...
Доказательство (или опровержение) простоты заданного числа
Доказательство (или опровержение) простоты заданного числа Иногда нужно не только знать, простое или составное данное число, но и иметь доказательство (или опровержение) его простоты. Конечно, сис...
Функции PreviousPrime и NextPrime и случайные простые числа
Функции PreviousPrime и NextPrime и случайные простые числа В пакете теории чисел (загружается по команде <<NumberTheory'NumberTheory-Functions') имеются две чрезвычайно полезные функции, зн...
Наибольшее простое число меньшее n — PreviousPrime[n]
Наибольшее простое число, меньшее n, — PreviousPrime[n] Функция PreviousPrime [n] генерирует наибольшее простое число, меньшее n. Если n не больше 2, будет сгенерировано отрицательное простое числ...
Пример 1
Пример 1...
Наименьшее простое число большее n — NextPrime[n]
Наименьшее простое число, большее n, — NextPrime[n] Функция NextPrime[n] генерирует наименьшее простое число, большее n. NextPrime[-1000] -997 NextPrime[-l] 2 NextPrimeflOOO] 1009 NextPrime[1009]...
Пример 1
Пример 1...
Случайное простое число в заданном
Случайное простое число в заданном интервале — Random[Prime, {n, m}] Иногда нужно сгенерировать какое-нибудь случайное простое число, лежащее в заданном интервале. Для этого используется конструкц...
Пример 1
Пример 1...
Пифагоровы треугольники у которых
Пифагоровы треугольники, у которых длины двух сторон выражаются простыми числами Как известно, треугольники, у которых длины двух сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми. Хорошо...
Пример 1
Пример 1Порядок использования этой функции такой: сначала загрузить пакет теории чисел, а затем ввести это определение. Только после этого можно ее вызвать. PythagorasTriangles[10000] Результаты у...
Пример 2
Пример 2Теперь можем выполнить вычисления. Do[NumberOfPythagorasTriangles[10^n],{n,9}] Результаты отформатируем в виде таблицы....
Таблицы простых чисел
Таблицы простых чисел Студент на экзамене: Чтобы составить таблицу простых чисел, нужно трясти решето. Преподаватель: Сколько раз? Студент: Ну, пока не вытрясется все лишнее. Мехматовский фольклор...
Функция Prime[n] — nе простое число рn
Функция Prime[n] — n-е простое число рnВ предыдущей главе, разлагая числа на простые множители, мы опустили вопрос о том, как составляются таблицы простых чисел. Тем не менее этот вопрос интересов...
Пример 1
Пример 1Несложно построить и график первых ста простых чисел....
Пример 2
Пример 2Но что делать, если нужно построить таблицу не от начала, а только ее часть, скажем Рn , Рn+1,... Рn+m ? Ничего страшного, вот пример....
Пример 3
Пример 3Здесь построена таблица простых чисел р10^12+1, р10^12+2, ..., p10^12+100. И уж конечно не составляет труда вычисление отдельного простого числа рn по его номеру n.., если только n не слиш...
Пример 4
Пример 4Но если n очень велико, система Mathematica откажется вычислять Prime [n]....
Пример 5
Пример 5В таких случаях вам придется решать, что делать: строить решето или использовать другие методы. Говорят, впрочем, что верхнюю планку для аргумента n функции Prime [n] скоро поднимут пример...
Поиск отрезков натурального ряда
Поиск отрезков натурального ряда, состоящих только из составных чисел За одним-единственным исключением pn =2, р2 = 3, числа рn и рn+1 не являются смежными в натуральном ряду. Еще Евклид знал, что...
Пример 1
Пример 1Вот как ее можно использовать. CompositeRuns/@Range[10] Здесь она запускается 10 раз. Вот что получится (вывод немного отформатирован). {4}, 8,9}, 8,9,10}, 24,25,26,27}, 24,25,26,27,28}, 9...
Пример 2
Пример 2Однако полезнее эту функцию модифицировать так, чтобы она выводила на печать только длину отрезка и его начало. CompositeRunsStart[n_Integer?Positive]:=Block[{pi,p2=3,i=2}, While[(pi,p2}={...
Пример 3
Пример 3Однако среди этой информации все еще слишком много шума. Логично было бы исключить избыточную информацию: {1,4} {3,8} {5,24} {7,90} {13,114} Таблица стала, как видим, значительно компактне...
Пример 4
Пример 4Эта программа выводит список пар. В каждой паре сначала указана длина интервала, а затем — его начало, причем указывается, естественно, начало того ближайшего к началу натурального ряда ин...
Пример 5
Пример 5Рисунок 5.1. Вот как растет файл подкачки Хотя мы и получили довольно интересные результаты, завершение вычислений было несколько неожиданным. Давайте попробуем с основанием 7. base=7;Do[P...
Пример 6
Пример 6Рисунок 5.2. Отчетливо видно плато Высокой производительности, рассеченное, правда, Каньоном вспомогательных действий. Плато Высокой производительности имеет почти отвесные обрывы Наконец,...
Пример 7
Пример 7Рисунок 5.3. Отчетливо видно не только плато Высокой производительности, но и почти отвесный обрыв Холма увеличения файла подкачки, связанный с завершением работы системы Mathematica У вся...
Пример 8
Пример 8Рисунок 5.4. Отчетливо видно, что файл подкачки не растет, а загрузка ЦП не падает ниже 50% несмотря ни на какие переключения задач В теории чисел длина наибольшего из интервалов между 1 и...
Пример 9
Пример 9Похоже мало, но неплохо бы уточнить....
Пример 10
Пример 10Вот еще одно уточнение....
Пример 11
Пример 11И, наконец, нарисуем график на интервале (1,1 000 000)....
Пример 12
Пример 12Конечно, похоже. Но не более, чем статистика на правду... Пример 5.9. График разностей между последовательными простыми числами. Давайте теперь построим график разностей между последовате...
Пример 13
Пример 13А вот график для n = 10000....
Пример 14
Пример 14...
Близнецы
Близнецы Изучая распределение простых чисел, мы узнали, что интервалы, состоящие из составных чисел, могут быть сколь угодно длинными. Однако встречаются и очень короткие интервалы, ограниченные п...
Пример 1
Пример 1А вот так можно найти список пар близнецов, не превосходящих 1000....
Пример 2
Пример 2В принципе данная функция работает довольно быстро, хотя едва ли она может найти пару близнецов {156-5202-1 , 156-5202 +1}....
Простые числа близкие к числам определенного вида
Простые числа, близкие к числам определенного вида В ряде областей науки и техники, например в теории кодирования, важно знать простые числа, близкие к числам определенного вида (чаще всего к степ...
Пример 1
Пример 1В этой программе использованы функции PreviouskPrimes и NextkPrimes. Функция PreviouskPrimes [N, k] должна генерировать k наибольших простых чисел, меньших Ж Иными словами, она должна гене...
Число простых чисел не превосходящих х (функция PrimePi[x])
Число простых чисел, не превосходящих х (функция PrimePi[x]) Согласитесь, изучив все тонкости искусства составления таблиц простых чисел, было бы нелогично пренебречь искусством составления таблиц...
Пример 1
Пример 1В документации, правда, верхний предел указан примерно равным 260, а на самом деле......
Пример 2
Пример 2Тем не менее не следует воспринимать ситуацию уж очень пессимистически. Давайте, например, построим графики функций...
Пример 3
Пример 3 и...
Пример 4
Пример 4 на промежутке (0, 100)....
Пример 5
Пример 5Как видите, если не считать неприятностей с нулем, где...
Пример 6
Пример 6 не определена, то видно, что она довольно неплохо приближает...
Пример 7
Пример 7 . Впрочем, вот график с интегральным логарифмом....
Пример 8
Пример 8Теперь даже в нуле неприятностей нет. Но вот вопрос: будет ли заметна ступенчатость на больших интервалах? На самом деле ступенчатость незаметна уже на интервале (0, 10000)....
Пример 9
Пример 9Но какая же функция приближает...
Пример 10
Пример 10 лучше:...
Пример 11
Пример 11 или Li(x)? Конечно, Li(x)....
Пример 12
Пример 12Если же построить график на интервале (0, 10000), то графики...
Пример 13
Пример 13 и Li(x) практически сольются....
Пример 14
Пример 14Раз уж речь зашла о приближении k(х), давайте построим графики разности функции...
Пример 15
Пример 15 и известных ее аппроксимаций. В качестве первой (самой простой) аппроксимирующей функции выберем...
Пример 16
Пример 16 (приближение Чебышева и Лежандра), в качестве второй — 1л(х) (приближение Гаусса), а в качестве третьей — R(x) (приближение Римана). Сначала определим функцию R(x). Riemann[x_]:= Last[Bl...
Пример 17
Пример 17 Как видим, из трех наилучшим является приближение Римана. И еще одно замечание. Как мы видели, график функции ?(х) выглядит вполне гладко, хотя на самом деле он является ступенчатым. Бол...
Количество простых чисел на открытом слева отрезке (а b]
Количество простых чисел на открытом слева отрезке (а, b] С помощью функции PrimePi несложно подсчитать и количество простых чисел на открытом слева отрезке (а, b]. Помните только, что если вы пол...
Резюме
Резюме Хотя каждый математик знает, ох, как это непросто, нужно признать, что система Mathematica дружит с простыми числами. В ней есть функции, проверяющие, является ли число простым; функция, ге...








- Начало -    


Книжный магазин